1. 单样本正态总体的均值检验

  情形一：总体方差已知

  \(Z\)检验是一般用于大样本（即样本容量大于30）平均值差异性检验的方法。它是用标准正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)的理论来推断差异发生的概率，从而比较两个均数的差异是否显著。也被称作\(u\)检验。

  \(Z\)检验的步骤:

  第一步：建立虚无假设，即先假定两个平均数之间没有显著差异。

  第二步：计算统计量\(Z\)值，对于不同类型的问题选用不同的统计量计算方法。

  \(Z\)统计量：

\[Z=\frac{X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\]   其中：

  \(X\)是检验样本的平均数；

  \(μ\)是已知总体的平均数；

  \(\sigma\)是总体的标准差；

  \(n\)是样本容量。

  第三步：判断

  若为双边检验：\(|Z| \geq Z_{\alpha/2}\) 时，拒绝原假设，否则接受原假设；

  若为左侧检验：\(Z \leq -Z_{\alpha}\) 时，拒绝原假设，否则接受原假设；

  若为右侧检验：\(Z \geq Z_{\alpha}\) 时，拒绝原假设，否则接受原假设；

  也可以计算\(Z\)统计量对应的P值，然后和\(\alpha\)进行比较，当\(P>\alpha\)时，接受原假设，当\(P<\alpha\)时，拒绝原假设。

  R中无直接函数可以检验，但是可以用参数估计中的区间估计来检验，\(Z\)检验使用例子:

library(UsingR)  
x<-rnorm(50,0,5)  
simple.z.test(x,5)

## [1] -1.8012897  0.9705179

  结果说明在置信度为95%的情况下总体的均值区间为\([-2.947929, 3.250022]\)(每执行一次代码，x都会重新随机取数，所以执行结果每次都不一样)。

  情形二：总体方差未知

  \(t\)检验是用\(t\)分布理论来推论差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著。\(t\)检验分为单总体检验和双总体检验。这里单样本采用单总体检验，即简单\(t\)检验。

  第一步：建立虚无假设，即先假定两个平均数之间没有显著差异。

  第二步：计算统计量\(t\)值，对于不同类型的问题选用不同的统计量计算方法。

  \(t\)统计量： \[ t=\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n-1}} \]

  其中：

  \(\bar{X}\)是检验样本的平均数；

  \(μ\)是样本的平均数；

  \(S\)是样本的标准差；

  \(n\)是样本容量。

  第三步：判断

  若为双边检验：\(|t| \geq t_{\alpha/2}\) 时，拒绝原假设，否则接受原假设；

  若为左侧检验：\(t \leq -t_{\alpha}\) 时，拒绝原假设，否则接受原假设；

  若为右侧检验：\(t \geq t_{\alpha}\) 时，拒绝原假设，否则接受原假设。

  也可以计算\(t\)统计量对应的P值，然后和\(\alpha\)进行比较，当\(P>\alpha\)时，接受原假设，当\(P<\alpha\)时，拒绝原假设。

  例：一种汽车配件的平均长度要求为10cm，高于或低于该标准均被认为是不合格的。汽车生产企业在购进配件时，通常是经过招标，然后对中标的配件提供商提供的样品进行检验，以决定是否购进。现对一个配件提供商提供的45个样本进行了检验。得到样本均值为9.89，样本标准差为0.4932。假定该供货商生产的配件长度服从正态分布，在0.01的显著性水平下，检验该供货商提供的配件是否符合要求？

  分析：假设汽车配件长度的均值为\(\mu_0=10\),该供应商的配件长度均值为\(\mu_1\),总体分布已知，所以为均值检验。

  假设如下：

\[ H_0: \mu_1=\ \mu_0 \\ H_1: \mu_1\ne\mu_0 \]

x=9.89
s=0.4932
df=45
alpha=0.01
u=10
t=(x-u)/s*sqrt(df-1)
# pt()算出t统计量对应的P值。
p = pt(t,df=45)
p

## [1] 0.07299552

  p = 0.07，可见P值>0.01，故接受原假设，即在0.01 的显著性水平下，检验该供货商提供的配件符合要求。

  2. 单样本正态总体的方差检验

  卡方统计量是指数据的分布与所选择的预期或假设分布之间的差异的度量。

  第一步：建立虚无假设，即先假定方差之间没有显著差异。

  第二步：计算统计量\(\chi^2\)值，对于不同类型的问题选用不同的统计量计算方法。

  \(\chi^2统计量\)： \[ \chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \]

  其中：

  \(\sigma\)是已知标准差；

  \(S\)是样本的标准差；

  \(n\)是样本容量。

  第三步：判断

  若为双边检验：\(\chi^2_{1-\alpha/2}<\chi^2<\chi^2_{\alpha/2}\) 时，接受原假设，否则拒绝原假设；

  若为左侧检验：\(\chi^2 < \chi^2_{1-\alpha}\) 时，拒绝原假设，否则接受原假设;

  若为右侧检验：\(\chi^2 > \chi^2_{\alpha}\) 时，拒绝原假设，否则接受原假设。

  也可以计算\(\chi^2\)统计量对应的P值，然后和\(\alpha\)进行比较，当\(P>\alpha\)时，接受原假设，当\(P<\alpha\)时，拒绝原假设。

  例：啤酒生产企业采用自动生产线灌装啤酒，每瓶的装填量为500ml，但由于受某些不可控因素的影响，每瓶的装填量会有差异。此时，不仅每瓶的平均装填量很重要，装填量的方差同样很重要。如果方差很大，会出现装填量太多或太少的情况，这样要么生产企业不划算，要么消费者不满意。假定生产标准规定每瓶装填量的标准差不应超过和不应低于15ml。企业质检部门抽取了16瓶啤酒进行检验，得到的样本标准差为S=14.87ml。试以0.05 的显著性水平检验装填量的标准差是否符合要求？

  分析：假设符合要求的标准差为\(\sigma_0\),样本的标准差为\(\sigma_1\)。

  假设如下： \[ H_0: \sigma_1= \sigma_0\\ H_1: \sigma_1\ne\ \sigma_0\\ \]

sigma2=15^2
s2=14.87^2
df=15
alpha=0.05
chi2=df*s2/sigma2
# pchisq()算出卡方统计量对应的P值，pt()算出t统计量对应的P值，默认显著性水平为0.05。
p = pchisq(chi2,df=15)
p

## [1] 0.5297799

  P值为0.53，接受原假设\(H_0\)，即在0.05的显著性水平下检验装填量的标准差符合要求。

  \(Z\)统计量： \[ Z=\frac{p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} \]   例：有一批大学生创业企业平均获得风险资本的可能性为\(P_0=0.15\)，现随机抽取500 家新近创立的企业，对其进行针对性的培训，结果有150家获得风险投资，试检验培训是否对风险投资的获得性有显著提升？

  分析：假设培训后的风险资本的获得性均值为\(P_1\),该题为二项分布检验。 \[ H_0: P_1\ \le\ P_0\\ H_1: P_1\ >\ P_0 \]

binom.test(x =150,n = 500,p = 0.15,alternative = "greater",conf.level = 0.95 )

## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  150 and 500
## number of successes = 150, number of trials = 500, p-value <
## 2.2e-16
## alternative hypothesis: true probability of success is greater than 0.15
## 95 percent confidence interval:
##  0.2662351 1.0000000
## sample estimates:
## probability of success 
##                    0.3

  1. 两样本正态总体的均值检验

  情形一：总体方差已知

  \(Z\)统计量：

\[Z=\frac{\bar{X}-\bar{Y}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\]

  情形二：总体方差未知但两方差相等

  同独立样本t检验(双样本均值检验)

  2. 两样本正态总体的方差检验

  \(F\)检验（\(F-test\)），最常用的别名叫做联合假设检验，此外也称方差比率检验、方差齐性检验。通常的F检验例子包括：假设一系列服从正态分布的总体，都有相同的标准差。该检验在方差分析（ANOVA）中也非常重要。

  第一步：建立虚无假设，即先假定方差之间没有显著差异。

  第二步：计算统计量\(F\)值，对于不同类型的问题选用不同的统计量计算方法。

  F统计量：

\[ F=\frac{S_1^2}{S_2^2} \]

  其中：

  \(S_1、S_2\)是标准差。前提是两样本容量相等。

  第三步：判断

  若为双边检验：\(F_{1-\alpha/2}<F<F_{\alpha/2}\) 时，接受原假设，否则拒绝原假设；

  若为左侧检验：\(F < F_{1-\alpha}\) 时，拒绝原假设，否则接受原假设;

  若为右侧检验：\(F > F_{\alpha}\) 时，拒绝原假设，否则接受原假设。

  也可以计算\(F\)统计量对应的P值，然后和\(\alpha\)进行比较，当\(P>\alpha\)时，接受原假设，当\(P<\alpha\)时，拒绝原假设。

  例：某电商平台希望了解不同等级的消费者在线评论点评时间（从确认购物完成到填写点评的天数）是否有显著的差异。从钻石客户和金牌客户组中随机的抽取出若干。从系统中获得这些客户的点评时间（单位：天）为：

  钻石客户组：13.7；1.8；3.8；4.6；20.7；3.7；5.8；4.4；0.7；5.6；2.8；3.9；11.7；7.9；

  金牌客户组：2.9；4.8；14.8；2.9；4.9；6.8；0.2；3.8；4.9；3.8；15.8；21.8；3.9；8.6；1.2；

  假设各组的客户点评时间分别构成正态总体，试比较钻石客户组和金牌客户组点评时间的波动是否存在显著差异（取alpha=0.05）。

  分析：假设钻石客户组的点评时间标准差为\(\sigma_1\),金牌客户组的点评时间标准差为\(\sigma_2\),总体分布已知，所以为方差检验。

  假设如下： \[ H_0: \sigma_1=\sigma_2 \\ H_1: \sigma_1\ne\sigma_2 \]

# 导入数据
diamond <- c(13.7,1.8,3.8,4.6,20.7,3.7,5.8,4.4,0.7,5.6,2.8,3.9,11.7,7.9)
gold <- c(2.9,4.8,14.8,2.9,4.9,6.8,0.2,3.8,4.9,3.8,15.8,21.8,3.9,8.6,1.2)

# 两总体方差检验
var.test(diamond, gold)

## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  diamond and gold
## F = 0.79933, num df = 13, denom df = 14, p-value = 0.6922
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##  0.2653913 2.4634202
## sample estimates:
## ratio of variances 
##          0.7993305

  P值=0.69>0.05，故接受原假设，即在0.05的显著性水平下，钻石客户组和金牌客户组点评时间的波动没有显著差异。

  注意：

  var.test(x,y) #用于来自正态总体的两个样本

  \(t\)统计量： \[ t=\frac{\bar{d}-\mu_0}{s_d/\sqrt{n}} \]

  1. 有原始数据的配对t检验

  例：判断简便法和常规法测定尿铅含量的差别有无统计意义，对12份人尿同时用两种方法进行测定，所得结果如下表所示，请分析两种测定方法的测量结果是否不同？

#输入两组值
x <- c(2.41,2.90,2.75,2.23,3.67,4.49,5.16,5.45,2.06,1.64,1.06,0.77)
y <- c(2.80,3.04,1.88,3.43,3.81,4.00,4.44,5.41,1.24,1.83,1.45,0.92)
#配对样本t检验
t.test(x,y,paired=T)

## 
##  Paired t-test
## 
## data:  x and y
## t = 0.16232, df = 11, p-value = 0.874
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.3558501  0.4125167
## sample estimates:
## mean of the differences 
##              0.02833333

  配对t检验的结果为：t=0.16232，显著性P值=0.874>0.05，不能拒绝原假设H0，说明不能认为两种方法测定尿铅含量的结果不相同。

  2. 无原始数据的配对t检验

  例：慢性支气管炎病人血中胆碱酯酶活性常常偏高。某校药理教研室将同性别同年龄的病人与健康人配成8对，测量该值加以比较，配对两组人差值的均值为0.625，标准差为0.78，问可否通过这一资料得出较明确的结论？

#依次输入配对样本的差值d、标准差s、配对数n
d <- 0.625
s <- 0.78
n <- 8
#算t值，两配对样本的标准差相等
t <- d / (s/sqrt(n))
#输入自由度n-1，pt()函数得到p值
df <- n-1
p <- pt(t,df)
p

## [1] 0.9711069

  \(t\)统计量：

\[ t=\frac{\bar{X_1}-\bar{X_2}}{\sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}}(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})} \]

  1. 有原始数据的独立样本t检验

  例：某产铸造车间为提高铸件的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代铜合金铸件，为此，从两种铸件中各抽取一个容量为11和9的样本，测得其硬度如下。

  镍合金： 76.43 68.21 73.58 69.69 65.29 70.83 72.75 71.34 75.68 68.35 70.19

  铜合金： 68.27 68.07 65.61 73.66 66.27 69.34 71.37 69.77 72.12

  根据专业经验，硬度服从正态分布，且方差保持不变，试在显著性水平α ＝ 0.05 下判断镍合金的硬度是否有显著提高？

  分析：假设镍合金的硬度均值为\(\mu_1\),铜合金的硬度均值为\(\mu_2\),总体分布已知，所以为t检验。

  假设如下： \[ H_0: \mu_1 \le \mu_2 \\ H_1: \mu_1>\mu_2 \]

# 导入数据
Cu <- c(68.27, 68.07, 65.61, 73.66, 66.27, 69.34, 71.37, 69.77, 72.12)
Ni <- c(76.43, 68.21, 73.58, 69.69, 65.29, 70.83, 72.75, 71.34, 75.68, 68.35, 70.19)
y=c(Cu,Ni)
group=as.factor(c(rep(1,length(Cu)),rep(2,length(Ni))))

# 方差齐性检验
bartlett.test(y~group)

## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  y by group
## Bartlett's K-squared = 0.40862, df = 1, p-value = 0.5227

t.test(y ~ group,alternative="greater", var.equal=TRUE)

## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  y by group
## t = -1.265, df = 18, p-value = 0.889
## alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
## 95 percent confidence interval:
##  -4.113737       Inf
## sample estimates:
## mean in group 1 mean in group 2 
##        69.38667        71.12182

  p-value = 0.889，可见P值>0.05，故接受原假设，即在0.05 的显著性水平下，镍合金的硬度没有显著提高。

  2. 无原始数据的独立样本t检验

  例：测量某两个地区水中碳酸钙的含量，分别从两个地区随机抽取20份样品进行碳酸钙检测，分别得到两个地区碳酸钙含量的均数和标准差。试判断两个地区水中碳酸钙的含量是否有差异？

#输入对照组实验组均值x1，x2；组数n1，n2；方差s1，s2
x1<-20.95; x2<-21.79; n1<-20; n2<-20; s1<-5.89; s2<-3.43
#计算两独立样本共同的标准差
sc <- sqrt((1/n1+1/n2)*((n1-1)*s1**2+(n2-1)*s2**2)/(n1+n2-2))
#t值，自由度df，p值
t <- (x2-x1)/sc
df <- n1+n2-2
p <- pt(t,df)
p

## [1] 0.7076209

  1. 两样本比率的均值Z检验

  \(Z\)统计量： \[ Z=\frac{p_1-p_2}{\sqrt{p(1-p)(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}})}\\ p=(x1+x2) / (n1+n2)\\ p1=x1/n1,p2=x2/n2. \]

z.prop = function(x1,x2,n1,n2){
  num=  (x1/n1) - (x2/n2)
  p = (x1+x2) / (n1+n2)
  denominator = sqrt(1 * (1-0) * (1/n1 + 1/n2))
  z.prop = num/ denominator
  return(z.prop)
}
z.prop(21,24,47,58)

## [1] 0.1682228

  检验结果显示P值=0.168>0.05,接受原假设，所以两组数据均值没有显著差异。

  2. prop.test(x,n)处理两样本比率的卡方检验

  总结：

  * 如果题目中无原始数据集，可以采取直接计算公式算出P值。

  * pchisq()算出卡方统计量对应的P值，pt()算出t统计量对应的P值，默认显著性水平为0.05。而qpois()求在显著性水平和对比值下的泊松分布中的次数，qnorm()算出在显著性水平下的Z统计量的值，qbinom()算出在显著性水平下的二项分布中的次数。rnorm()生成正态分布随机数，rexp()生成指数分布随机数，runif()生成均匀分布随机数，rbinom()生成二项分布随机数。

  卡方检验

  总体分布的卡方检验适用于配合度检验，是根据样本数据的实际频数推断总体分布与期望分布或理论分布是否有显著差异。

  它的零假设\(H0\)：样本来自的总体分布形态和期望分布或某一理论分布没有显著差异。

  总体分布的卡方检验的原理是：如果从一个随机变量尤中随机抽取若干个观察样本，这些观察样本落在X的k个互不相交的子集中的观察频数服从一个多项分布，这个多项分布当k趋于无穷时，就近似服从\(X\)的总体分布。

  1. Kolmogorov-Smirnov分布一致性检验：ks.test(x, y)

  该检验的目的是： 对于单样本，检验其是否符合某种分布 。对于双样本，检验其是否属于同一分布。

  ks检验，理论上可以检验任何分布。 既可以做当样本检验，也可以做双样本检验。

#单样本检验
#记录一台设备无故障工作时常，并从小到大排序。问这些时间是否服从lambda=1/1500的指数分布？
x <- c(420,500,920,1380,1510,1650,1760,2100,2300,2350)
ks.test(x,"pexp",1/1500)

## 
##  One-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  x
## D = 0.30148, p-value = 0.2654
## alternative hypothesis: two-sided

#双样本检验
#有两个分布，分别抽样了一些数据，问他们是否服从相同的分布。
x = runif(100)
y = runif(100)
ks.test(x,y)

## 
##  Two-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  x and y
## D = 0.12, p-value = 0.4676
## alternative hypothesis: two-sided

  单样本检验结果的P值=0.2654，接受原假设，则这些时间是否服从lambda=1/1500的指数分布，双样本检验检验结果的P值=0.5806，接受原假设，则他们服从相同的分布。

  2. Shapiro-Wilk正态性检验：shapiro.test(x)

  正态W检验方法：当p值大于a为正态分布，样本含量在[3, 5000]之间。比如方差分析中经常需要检验样本是否服从正态分布。

# 用data frame的格式输入数据
medicine <- data.frame(
  Response=c(30,38,35,41,27,24,32,26,31,29,27,35,21,25,17,21,20,19),
  Treatment=factor(c(rep("a",6),rep("b",8),rep("c",4)))
)

attach(medicine)

shapiro.test(Response[Treatment=="a"])

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  Response[Treatment == "a"]
## W = 0.96129, p-value = 0.8296

shapiro.test(Response[Treatment=="b"])

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  Response[Treatment == "b"]
## W = 0.99106, p-value = 0.9965

shapiro.test(Response[Treatment=="c"])

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  Response[Treatment == "c"]
## W = 0.97137, p-value = 0.85

  从上面运行结果可以看出每组数据的正态性检验结果的P值都大于0.05，原假设为该数据服从正态分布，所以不能拒绝原假设，这三组数据都服从正态分布。